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        1. 已知函數(shù)y=f(x)是二次函數(shù),且f(0)=8,f(x+1)-f(x)=-2x+1.
          (Ⅰ)求f(x)的解析式;
          (Ⅱ)求證f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是減函數(shù).
          分析:(Ⅰ)設(shè)f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=8可求c,由f(x+1)-f(x)=-2x+1可構(gòu)造關(guān)于a,b的方程組,可求解.
          (Ⅱ)定義法證明函數(shù)的單調(diào)性,注意步驟.
          解答:解:(Ⅰ)設(shè)f(x)=ax2+bx+c∴f(0)=c,又f(0)=8∴c=8
          又f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c
          ∴f(x+1)-f(x)
          =[a(x+1)2+b(x+1)+c]-(ax2+bx+c)
          =2ax+(a+b)

          結(jié)合已知得:2ax+(a+b)=-2x+1,
          2a=-2
          a+b=1
          ∴a=-1,b=2
          ∴f(x)=-x2+2x+8
          (Ⅱ)證明:設(shè)任意的x1,x2∈[1,+∞)且x1<x2
          f(x1)-f(x2)
          =(-x12+2x1+8)-(-x22+2x2+8)
          =(x22-x12)+2(x 1-x2)
          =(x2-x1)(x2+x1-2)

          又由假設(shè)知x2-x1>0,而x2>x1≥1
          ∴x2+x1-2>0∴(x2-x1)(x2+x1-2)>0
          即f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2
          ∴f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是減函數(shù).
          點(diǎn)評(píng):本題為函數(shù)解析式的求解,單調(diào)性的證明,利用了解方程組的思想和定義法證明單調(diào)性,屬基礎(chǔ)題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          -x(1+x)
          -x(1+x)

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          [-3,3]
          [-3,3]

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          (1,3]
          (1,3]

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