Question

（1）討論函數(shù)f(x)=

lnx

x2

（x∈[e^-1，e]）的圖象與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（2）求證：對(duì)任意的n∈N^*，不等式

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

總成立．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在[e-1，

e

]上遞增，函數(shù)f（x）在[

e

，e]上遞減，由此求得函數(shù)的值域，從而得到f（x）圖象與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在（0，+∞）上的最大值為

1

2e

，x∈（0，+∞）時(shí)，

lnx

x4

=

lnx

x2

•

1

x2

≤

1

2e

•

1

x2

，
用數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)合放縮法證明不等式成立．

解答：（1）解：由題意得：f′(x)=

1-2lnx

x3

．令f'（x）=0，得x=

e

．
當(dāng)x∈(e-1，

e

)時(shí)，f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在[e-1，

e

]上遞增；
當(dāng)x∈(

e

，e)時(shí)，f'（x）＜0，故函數(shù)f（x）在[

e

，e]上遞減．
又因?yàn)閒（e^-1）=-e²，f(

e

)=

1

2e

，f(e)=

1

e2

，所以當(dāng)k＞

1

2e

或k＜-e²時(shí)，沒有交點(diǎn)；
當(dāng)k=

1

2e

或-e2≤k＜

1

e2

時(shí)，有唯一的交點(diǎn)；當(dāng)

1

e2

≤k＜

1

2e

時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）證明：由（1）知函數(shù)f（x）在(0，

e

)上遞增，在(

e

，+∞)上遞減，
故f（x）在（0，+∞）上的最大值為

1

2e

．
即對(duì)x∈（0，+∞）均有

lnx

x2

≤

1

2e

，故

lnx

x4

=

lnx

x2

•

1

x2

≤

1

2e

•

1

x2

．
當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；當(dāng)n≥2時(shí)，有

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

  
=0+

ln2

22

•

1

22

+

ln3

32

•

1

32

+…+

lnn

n2

•

1

n2

≤

1

2e

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

) 
＜

1

2e

(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)•n

)=

1

2e

(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

(n-1)

-

1

n

) 
=

1

2e

(

1

1

-

1

n

)＜

1

2e

．
綜上可知，對(duì)任意的n∈N^*，不等式

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用放縮法證明不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于難題．