Question

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(

πx

4

-

π

6

)-2cos2

πx

8

+1．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求當(dāng)x∈（0，4）時(shí)y=g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）根據(jù)f（x）與g（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，得到g（x）=f（2-x），確定出g（x）解析式，根據(jù)x的范圍，利用余弦函數(shù)的值域即可確定出g（x）的值域．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin

πx

4

-

1

2

cos

πx

4

-cos

πx

4

=

3

2

sin

πx

4

-

3

2

cos

πx

4

=

3

（

1

2

sin

πx

4

-

3

2

cos

πx

4

）=

3

sin（

πx

4

-

π

3

），
∵ω=

π

4

，∴T=8；
（2）∵函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴g（x）=f（2-x）=

3

sin[

π

4

（2-x）-

π

3

]=

3

cos（

πx

4

+

π

3

），
∵x∈（0，4），∴

πx

4

+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），
∴-1＜cos（

πx

4

+

π

3

）＜

1

2

，即-

3

＜

3

cos（

πx

4

+

π

3

）＜

3

2

，
則y=g（x）的值域?yàn)椋?

3

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的對(duì)稱性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．