Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=2x²-12x+16，則方程f（x）=m有兩個(gè)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．（-6，6）
B．（-2，6）
C．（-6，-2）∪（2，6）
D．（-∞，-6）∪（6，+∞）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)f（x+1）為奇函數(shù)，以及x＞1時(shí)，f（x）=2x²-12x+16，求得x＜1時(shí)，f（x）的解析式．由題意可得，直線y=m與函數(shù)f（x）圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：∵f（x+1）為奇函數(shù)，可得 f（-x+1）=-f（x+1），即 f（-x+1）+f（x+1）=0，
故函數(shù)f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，∴f（x）+f（2-x）=0．
當(dāng)x＜1時(shí)，有2-x＞1，又當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=2x²-12x+16，故函數(shù)的最小值為f（3）=-2．
∴當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-f（2-x）=-[2 （2-x）²-12（2-x）+16]=-2x²-4x=-2x（x+2），故函數(shù)的最大值為2．
直線y=m與函數(shù)f（x）圖象的所有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是方程f（x）=m的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
由題意可得，直線y=m與函數(shù)f（x）圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．如圖所示：
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （-6，-2）∪（2，6），
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．