Question

若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足等式a_n+2S_n=3．
（1）能否在數(shù)列中找到按原來順序成等差數(shù)列的任意三項(xiàng)，說明理由；
（2）能否從數(shù)列中依次抽取一個(gè)無限多項(xiàng)的等比數(shù)列，且使它的所有項(xiàng)和S滿足，如果這樣的數(shù)列存在，這樣的等比數(shù)列有多少個(gè)？

Answer 1

解：（1）∵a_n+2S_n=3，∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁+2a₁=3，解得a₁=1，
∵a_n+2S_n=3，∴a_n+1+2S_n+1=3，
兩式相減，得，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
∴，
假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為a_p，a_q，a_r（p＜q＜r），
則，即，
∴2•3^r-q=3^r-p+1，即3^r-q（2-3^q-p）=1，
∵P＜q＜r，∴r-q，r-p∈N^*，
∴3^r-q＞3，2-3^q-p＜0，
∴3^r-q（2-3^q-p）＜0，
∴假設(shè)不成立，∴不存在按原來順序成等差數(shù)列的任意三項(xiàng)．
（2）設(shè)抽取的等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，項(xiàng)數(shù)為k，且m，n，k∈N^*，
則S（k）=＜，
∵，∴，
∴，
由①得，∴m≥3，n≥1．
由②得，
當(dāng)m=3，n=1時(shí)，適合條件，這時(shí)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，
當(dāng)m=3，n＞1時(shí)，均不合適；當(dāng)m＞3，n≥1時(shí)，均不合適，
綜上所述，滿足題意的等比數(shù)列有且只有一個(gè)．
分析：（1）由a_n+2S_n=3，得，從而得到，由此利用反證法推導(dǎo)出不存在按原來順序成等差數(shù)列的任意三項(xiàng)．
（2）設(shè)抽取的等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，項(xiàng)數(shù)為k，且m，n，k∈N^*，則S（k）=＜，由此能推導(dǎo)出滿足題意的等比數(shù)列有且只有一個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合考查，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，是道綜合性很強(qiáng)的好題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．