Question

（2012•杭州二模）已知各項都是正數的等比數列{a_n}中，存在兩項 am， an(m， n∈N*)使得

aman

=4a1，且a₇=a₆+2a₅，則

1

m

+

4

n

的最小值是（　�。�

• A．

  3

  2

• B．

  4

  3

• C．

  2

  3

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：分析題目已知正項等比數列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，可以根據等比數列通項公式解出q的值．由存在兩項 am， an(m， n∈N*)使得

aman

=4a1，可解得m+n=6．將所求

1

m

+

4

n

乘以

1

6

（m+n），利用基本不等式，即可得到答案．

解答：解：因為已知正項等比數列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，
則有a₁q⁶=a₁q⁵+2a₁q⁴．
即：q²-q-2=0，解得：q=2，q=-1，又因為時正項等比數列故q=2．
∵存在兩項 am， an(m， n∈N*)使得

aman

=4a1，即a₁×

2m-12n-1

=4a₁，∴m+n=6
則

1

m

+

4

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

6

[5+

n

m

+

4m

n

]≥

1

6

（5+2

n m × 4m n

）=

3

2

   （當且僅當

4m

n

=

n

m

時取等號）
∴

1

m

+

4

n

的最小值是

3

2

故選 A

點評：此題主要考查基本不等式的應用問題，其中涉及到等比數列通項的問題，屬于綜合性試題，考查學生的靈活應用能力，屬于中檔題目．