Question

已知點(diǎn),的坐標(biāo)分別是，.直線,相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若過點(diǎn)的兩直線和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)，且,求的值;

(3)在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn),,使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比恒為,若存在，求出定點(diǎn),；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）軌跡的方程為 

（2）

（3）存在定點(diǎn)，或，

【解析】

試題分析：解： （1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

由題可知,即，

化簡得 ，

所以點(diǎn)的軌跡的方程為                                 4分

（2）分四種情況討論

情況一：當(dāng)直線和都與相切時(shí)，直線和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)。

設(shè)直線的方程為，即

由可知直線的方程為，即

因?yàn)橹本�和都與相切，所以 解得。             6分

情況二：當(dāng)直線過點(diǎn),直線過點(diǎn)時(shí)，直線和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)。

此時(shí)直線的斜率，直線的斜率

由知，解得。                                       7分

情況三：當(dāng)直線過點(diǎn),直線與相切時(shí)，直線和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)。

直線的斜率，由知直線的斜率

故直線的方程為，即

因?yàn)橹本�與相切，所以 解得。

情況四：當(dāng)直線過點(diǎn),直線與相切時(shí)，直線和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)。

直線的斜率，由知直線的斜率

故直線的方程為，即

因?yàn)橹本�與相切，所以 解得。               10分

綜上所述：的值為，1，。

（3）假設(shè)存在定點(diǎn),,設(shè)，，

則化簡整理得（*）         11分

由于滿足，故（*）式可化為        12分

故解得或                                

故存在定點(diǎn)，或，，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為。                                                              14分

考點(diǎn)：軌跡方程，直線與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評：主要是考查了直線與原點(diǎn)位置關(guān)系的運(yùn)用，以及軌跡方程的求解，屬于中檔題。