Question

已知a＞0，設(shè)函數(shù)，．
（Ⅰ）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（Ⅱ）若e是自然對數(shù)的底數(shù)，當(dāng)a=e時，是否存在常數(shù)k、b，使得不等式f（x）≤kx+b≤g（x）對于任意的正實數(shù)x都成立？若存在，求出k、b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）先對函數(shù)h（x）求導(dǎo)可得，（x＞0），通過導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間，從而可求函數(shù)的極值，最值
（II）由（I）可知，當(dāng)a=e時，h（x）=f（x）-g（x）的最大值為0，則可得f（x）≤g（x），若使得f（x）≤kx+b≤g（x）對于任意的正實數(shù)x都成立，根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識可證，在x∈R時恒成立；即證
解答：解：（I）∵h（x）=f（x）-g（x）=alnx-2x+2a=alnx-（x＞0）（2分）
對函數(shù)h（x）求導(dǎo)可得，
∵x＞0
∴當(dāng)時，h′（x）＞0，h（x）在（0，）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x時，h′（x）＜0，h（x）在（，+∞）上單調(diào)遞減
∴x=是函數(shù)h（x）唯一的極大值即是函數(shù)的最大值h（）=（4分）
（II）當(dāng)a=e時，h（x）=f（x）-g（x）的最大值為0
即f（x）≤g（x），當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號（6分）
∴函數(shù)f（x，g（x）的圖象在x=處有且僅有一個公共點（）
∵，函數(shù)f（x）的圖象在x=處的切線斜率k=-
，函數(shù)g（x）在x=處的切線斜率k=-
∴f（x）與g（x）的圖象在x=處有公共的切線方程為y=-（8分）
設(shè)，

x
F'（x）	+		-
F（x）	↑	極大值	↓

∴當(dāng)時，函數(shù)F（x）取得最大值0
∴恒成立；…（10分）
∵，
∴在x∈R時恒成立；
∴當(dāng)a=e時，，．
點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、函數(shù)的最值判斷與求解中的應(yīng)用，及構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的最值證明不等式，試題有一定的難度．