Question

已知直線C₁

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)），C₂

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），
（Ⅰ）當α=

π

3

時，求C₁與C₂的交點坐標；
（Ⅱ）過坐標原點O做C₁的垂線，垂足為A，P為OA中點，當α變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．

Answer 1

分析：（I）先消去參數(shù)將曲線C₁與C₂的參數(shù)方程化成普通方程，再聯(lián)立方程組求出交點坐標即可，
（II）設P（x，y），利用中點坐標公式得P點軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么類型的曲線．

解答：解：（Ⅰ）當α=

π

3

時，C₁的普通方程為y=

3

(x-1)，C₂的普通方程為x²+y²=1．
聯(lián)立方程組

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，
解得C₁與C₂的交點為（1，0）(

1

2

，-

3

2

)．
（Ⅱ）C₁的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0①．
則OA的方程為xcosα+ysinα=0②，
聯(lián)立①②可得x=sin²α，y=-cosαsinα；
A點坐標為（sin²α，-cosαsinα），
故當α變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為：

x= 1 2 sin2α y=- 1 2 sinαcosα

(α為參數(shù))，
P點軌跡的普通方程(x-

1

4

)2+y2=

1

16

．
故P點軌跡是圓心為(

1

4

，0)，半徑為

1

4

的圓．

點評：本題主要考查直線與圓的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，利用參數(shù)方程研究軌跡問題的能力．