Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=2，a₃=3，a_n+2=

a 2 n+1 + (-1)n

an

（n≥2）
（Ⅰ）求a₄，a₅；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的λ的值；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）寫出數(shù)列{a_n}中與987相鄰的后一項(xiàng)（不需要過程）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)遞推關(guān)系式a_n+2=

a 2 n+1 + (-1)n

an

直接進(jìn)行求解即可求出a₄，a₅的值；
（II）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列，然后根據(jù)新數(shù)列的前三項(xiàng)求出λ，然后驗(yàn)證是否正確即可；
（III）根據(jù)前幾項(xiàng)總結(jié)規(guī)律a_n+2=a_n+1+a_n（n≥2），從而寫出數(shù)列{a_n}中與987相鄰的后一項(xiàng)即可．

解答：解：（I）a₄=

a 2 3 +1

a2

=

9+1

2

=5
a₅=

a 2 4 -1

a3

=

25-1

3

=8
（II）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列，則
2（a₃-λa₂）=（a₂-λa₁）+（a₄-λa₃），解得λ=1
由a₃=3，a₄=5，a₅=8，a₆=13得2（a₅-a₄）≠（a₄-a₃）-（a₃-a₂）與數(shù)列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列矛盾
故不存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列
（III）a₂=2，a₃=3，a₄=5，a₅=8，a₆=13，猜想a_n+2=a_n+1+a_n（n≥2）
∴數(shù)列{a_n}中與987相鄰的后一項(xiàng)為1597．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，以及等差數(shù)列的確定，同時(shí)考查了推理能力，屬于中檔題．