Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，且滿足a_n+1-a_n=b_n（n=1，2，3，…）．
（1）若a₁=0，b_n=2n，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．記c_n=a_6n-1（n≥1），求證：數(shù)列{c_n}為常數(shù)列；
（3）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．若數(shù)列{

an

n

}中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次，求首項(xiàng)a₁應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

（1）當(dāng)n≥2時(shí)，有
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
=2×1+2×2+…+2×（n-1）
=2×

(n-1)n

2

=n²-n，又當(dāng)n=1時(shí)此式也成立．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為an=n2-n．
（2）∵b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），
∴對(duì)任意的n∈N^*有b_n+6=b_n+5-b_n+4=-b_n+3=b_n+1-b_n+2=b_n，
∴數(shù)列{b_n}是一個(gè)以6為周期的循環(huán)數(shù)列
又∵b₁=1，b₂=2，
∴b₃=b₂-b₁=1，b₄=b₃-b₂=-1，b₅=b₄-b₃=-2，b₆=b₅-b₄=-1．
∴c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=a_6n+5-a_6n+4+a_6n+4-a_6n+3+…+a_6n-a_6n-1
=b_6n+4+b_6n+3+b_6n+2+b_6n+1+b_6n+b_6n-1=b₄+b₃+b₂+b₁+b₆+b₅
=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），
所以數(shù)列{c_n}為常數(shù)列．
（3）∵b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，
∴b₃=2，b₄=1，b5=

1

2

，b6=

1

2

，
且對(duì)任意的n∈N^*，有bn+6=

bn+5

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=bn，
設(shè)c_n=a_6n+i（n≥0），（其中i為常數(shù)且i∈{1，2，3，4，5，6}，
∴c_n+1-c_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5
=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆
=1+2+2+1+

1

2

+

1

2

=7（n≥0）．
所以數(shù)列{a_6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列．
記fn=

an

n

，則fk=

a6k+i

6k+i

=

ai+7

i+6k

=

7 6 (i+6k)+ai- 7i 6

i+6k

=

7

6

+

ai- 7i 6

i+6k

，
（其中n=6k+i，k≥0，i為{1，2，3，4，5，6}中的一個(gè)常數(shù)），
當(dāng)ai=

7i

6

時(shí)，對(duì)任意的n=6k+i有

ai

n

=

7

6

；
當(dāng)ai≠

7i

6

時(shí)，f_k+1-f_k=

ai- 7i 6

6(k+1)+i

-

ai- 7i 6

6k+i

=(ai-

7i

6

)(

1

6(k+1)+i

-

1

6k+i

)
=(ai-

7i

6

)

-6

[6(k+1)+i](6k+i)

，
①若ai＞

7i

6

，則對(duì)任意的k∈N有f_k+1＜f_k，數(shù)列{

a6k+i

6k+i

}為單調(diào)減數(shù)列；
②若ai＜

7i

6

，則對(duì)任意的k∈N有f_k+1＞f_k，數(shù)列{

a6k+i

6k+i

}為單調(diào)增數(shù)列；
綜上，當(dāng)ai=

7i

6

且i∈{1，2，3，4，5，6}時(shí)，數(shù)列{

an

n

}中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次
當(dāng)i=1時(shí)，a1=

7

6

符合要求；當(dāng)i=2時(shí)，a2=

7×2

6

=

7

3

符合要求，
此時(shí)的a1=a2-b1=

4

3

；
當(dāng)i=3時(shí)，a3=

7×3

6

=

7

2

符合要求，
此時(shí)的a2=a3-b2=

3

2

，a1=a2-b1=

1

2

；
當(dāng)i=4時(shí)，a4=

7×4

6

=

14

3

符合要求，
此時(shí)的a1=a4-b3-b2-b1=-

1

3

；
當(dāng)i=5時(shí)，a5=

7×5

6

=

35

6

符合要求，
此時(shí)的a1=a5-b4-b3-b2-b1=-

1

6

；
當(dāng)i=6時(shí)，a6=

7×6

6

=7符合要求，
此時(shí)的a₁=a₆-b₅-b₄-b₃-b₂-b₁=

1

2

；
即當(dāng)a₁∈{

7

6

，

4

3

，

1

2

，-

1

3

，-

1

6

}時(shí)，
數(shù)列{

an

n

}中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次．