Question

已知f(x)=4x＋ax²－x³(x∈R)在區(qū)間［－1,1］上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

Answer 1

－1≤a≤1

解析:

本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式有關(guān)知識(shí).

f′(x)=4＋2ax－2x².

∵f(x)在［－1,1］上是增函數(shù),

∴f′(x)≥0對(duì)x∈［－1,1］恒成立,

即x²－ax－2≤0對(duì)x∈［－1,1］恒成立.①

設(shè)φ(x)=x²－ax－2,

則①式等價(jià)于

解得－1≤a≤1.

∵對(duì)x∈［－1,1］,只有當(dāng)a=1時(shí),f′(－1)=0,以及當(dāng)a=－1時(shí),f′(1)=0,

∴實(shí)數(shù)a的范圍為－1≤a≤1.