Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₃=

7

2

，S₆=

63

2

．
（1）求等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=6n-61+log₂a_n，證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（3）對(duì)（2）中的數(shù)列{b_n}，前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求使T_n最小時(shí)的n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列求和公式建立a₁與q的方程組，從而可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后計(jì)算b_n+1-b_n看其是否常數(shù)，從而可判斷是否為等差數(shù)列；
（3）令

bn≤0 bn+1≥0

求出滿(mǎn)足條件的n，從而可求出使T_n最小時(shí)的n的值．

解答：解：（1）∵S₆=

63

2

≠2S₃，∴q≠1
∴

a1(1-q3) 1-q = 7 2 a1(1-q6) 1-q = 63 2

兩式子相除得1+q³=9，解得q=2，
代入解得a₁=

1

2

∴a_n=a₁q^n-1=2^n-2．
（2）b_n=6n-61+log₂a_n=7n-63，
b_n+1-b_n=7（n+1）-63-7n+63=7，
∴{b_n}為等差數(shù)列；
（3）令

bn≤0 bn+1≥0

得

7n-63≤0 7n-56≥0

解得8≤n≤9，
∴當(dāng)n=8或n=9時(shí)，前n項(xiàng)和為T(mén)_n最小．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)，以及數(shù)列的判定和數(shù)列的求和，同時(shí)考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．