Question

本小題滿分10分

已知二次函數(shù)（其中）.

(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；

(2)當為偶函數(shù)時，若函數(shù)，指出在上單調(diào)性情況，并證明之.

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）見解析。

【解析】本試題主要是考查了二次函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性的運用。

（1）為偶函數(shù)，即對任意， 

即，即對任意恒成立，得到a的值為零。

（2）由（1），若為偶函數(shù)，則，

當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，然后結(jié)合定義法證明。

解：（1）為偶函數(shù)，即對任意，……………2分

即，即對任意恒成立   ……………3分

                                                                      ……………4分

（2）由（1），若為偶函數(shù)，則，

當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明如下：       ……………5分

設(shè)任意，且

          ……………7分

，且，，即

，即即

在上單調(diào)遞減            ……………9分

同理，可得在上單調(diào)遞增            ……………10分