Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C1：(x-1)2+y2=25和圓C2：(x-4)2+(y-5)2=16．
（1）若直線l₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，-1）和圓C₁的圓心，求直線l₁的方程；
（2）若點(diǎn)P（2，-1）為圓C₁的弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程；
（3）若直線l過(guò)點(diǎn)A（6，0），且被圓C₂截得的弦長(zhǎng)為4

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）求出圓C1：(x-1)2+y2=25的圓心坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求出直線直線l₁的方程；
（2）求出點(diǎn)P（2，-1）為圓C₁的連線的斜率，即可求解弦AB的斜率，然后求直線AB的方程；
（3）設(shè)出直線l過(guò)點(diǎn)A（6，0）的方程，利用圓C₂的半徑、半弦長(zhǎng)以及圓心到直線的距離滿足勾股定理求出直線的斜率，然后求直線l的方程．

解答：解：（1）因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xoy中，已知圓C1：(x-1)2+y2=25的圓心坐標(biāo)（1，0）
直線l₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，-1）和圓C₁的圓心，所以直線l₁的方程為：

y-0

x-1

=

1

1-2

，即x+y-1=0；
（2）點(diǎn)P（2，-1）為圓C₁的圓心的連線的斜率為：k=

0+1

1-2

=-1，所以AB的斜率為：1，
所以直線AB的方程為y+1=x-2，
直線AB的方程：x-y-3=0；
（3）因?yàn)橹本�l過(guò)點(diǎn)A（6，0），且被圓C₂截得的弦長(zhǎng)為4

3

，圓C2：(x-4)2+(y-5)2=16
的圓心坐標(biāo)（4，5），半徑為4，設(shè)直線l的方程為y=k（x-6），弦心距為：

|4k-5-6k|

1+k2

=

|2k+5|

1+k2

．
圓C₂的半徑、半弦長(zhǎng)以及圓心到直線的距離滿足勾股定理，
所以16=(2

3

)2+(

|2k+5|

1+k2

)2，解得k=-

21

20

，
所求直線的方程為：21x+20y-126=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓心到直線的距離公式的應(yīng)用，直線方程的求法．