Question

（2012•嘉定區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的頂點(diǎn)．過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，其中A在第一象限．過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為C．設(shè)直線AB的斜率為k．
（1）若直線AB平分線段MN，求k的值；
（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)A到直線BC的距離．

Answer 1

分析：（1）先確定MN中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線AB平分線段MN，可得直線AB過線段MN的中點(diǎn)，從而可求斜率；
（2）求得A，B，C的坐標(biāo)，確定直線BC的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由題設(shè)知，a=2，b=

2

，故M（-2，0），N（0，-

2

），所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-

2

2

）．…（3分）
由于直線AB平分線段MN，故直線AB過線段MN的中點(diǎn)，
又直線AB過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以k=

- 2 2

-1

=

2

2

．…（6分）
（2）當(dāng)k=2時(shí)，直線AB的方程為y=2x，由

y=2x x2 4 + y2 2 =1

解得x=±

2

3

，…（8分）
從而A點(diǎn)的坐標(biāo)是（

2

3

，

4

3

），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

2

3

，-

4

3

），…（10分）
于是C點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2

3

，0）．…（11分）
所以直線BC的方程為x-y-

2

3

=0．…（12分）
所以點(diǎn)A到直線BC的距離為d=

| 2 3 - 4 3 - 4 3 |

2

=

2 2

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．