Question

如圖，現(xiàn)在要在一塊半徑為1m．圓心角為60°的扇形紙板AOB上剪出一個(gè)平行四邊形MNPQ，使點(diǎn)P在AB弧上，點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，設(shè)∠BOP=θ．平行四邊形MNPQ的面積為S．
（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求S的最大值及相應(yīng)θ的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件合理建立方程，從而導(dǎo)出S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式．
（2）利用三角函數(shù)求出S的最大值及相應(yīng)θ的值．

解答：解：①分別過點(diǎn)P、Q作PD⊥OB，QE⊥OB，垂足分別為D、E，則四邊形QEDP是矩形．
PD=sinθ，OD=cosθ．
在Rt△OEQ中，∠AOB=

π

3

，
則OE=

3

3

QE=

3

3

PD．
所以MN=PQ=DE=OD-OE=cosθ-

3

3

sinθ．
則S=MN×PD=（cosθ-

3

3

sinθ）×sinθ=sinθcosθ-

3

3

sin²θ，θ∈（0，

π

3

）．
（2）S=

1

2

sin2θ-

3

6

（1-cos2θ）=

1

2

sin2θ+

3

6

cos2θ-

3

6

=

3

3

sin（2θ+

π

6

）-

3

6

．
因?yàn)?＜θ＜

π

3

，所以

π

6

＜2θ+

π

6

＜

5π

6

，
所以

1

2

＜sin（2θ+

π

6

）≤1．所以當(dāng)2θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

6

時(shí)，S的值最大為

3

6

m²．
即S的最大值是

3

6

m²，相應(yīng)θ的值是

π

6

．

點(diǎn)評：挖掘題設(shè)條件，合理運(yùn)用三角函數(shù)是正確解題的關(guān)鍵．