Question

已知數(shù)列滿足：，，記(n∈N*)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和.

（Ⅰ）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若對任意n∈N*且n≥2，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）令，證明：(n∈N*).

Answer 1

（Ⅰ）證明略（Ⅱ）的取值范圍是（Ⅲ）證明略

解析:

（Ⅰ）因?yàn)?img width=52 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/142/186942.gif">，由已知可得，

.

（3分）

又，則.                                              （4分）

所以數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列，故.            （5分）

（Ⅱ）因?yàn)?img width=205 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/149/186949.gif">( n≥2).       （7分）

若對任意n∈N*且n≥2，不等式恒成立，則，故的取值范圍是.（8分）

（Ⅲ）因?yàn)?img width=196 height=64 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/155/186955.gif">，則

. （10分）

當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，，即.                                       （12分）

所以數(shù)列的最大項(xiàng)是或，且，故.              （13分）