Question

【題目】已知橢圓： 的右焦點(diǎn)為，不垂直軸且不過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．

（1）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線、的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如果，原點(diǎn)到直線的距離為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）d的取值范圍為.

【解析】試題分析：（1）設(shè)直線，代入中得： ，由斜率公式表示出直線的斜率，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算斜率之和，即可作出判斷；（2）設(shè)直線，代入中得： ，根據(jù)韋達(dá)定理，表示出直線的斜率，令斜率之積為，得出的關(guān)系，根據(jù)判別式得出的范圍，代入點(diǎn)到直線距離公式得出與的關(guān)系，利用基本不等式得出的范圍.

試題解析：（1）設(shè)直線，代入中得： .

設(shè)，

又F(1，0)，

又

，即直線FA、FB的斜率之和是定值0.

（2）設(shè)直線，代入中得： .

設(shè)，

若,則

即，

將代入并化簡(jiǎn)得：

，

代入判別式得恒成立，

，

故d的取值范圍為.