Question

設(shè)f(x)=2

3

cosx(

3

cosx-sinx)．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若銳角α滿足f(α)=3-2

3

，求tan

4

5

α的值．

Answer 1

分析：（I）函數(shù)f（x）表達(dá)式展開，再利用三角函數(shù)的降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，最后整理成標(biāo)準(zhǔn)形式：f（x）=-2

3

sin（2x-

π

3

）+3，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+K的有關(guān)公式，可以求出f（x）的最大值及最小正周期；
（II）將x=α代入（I）中求出的表達(dá)式，化簡(jiǎn)可得sin(2α-

π

3

)=1，再結(jié)合α為銳角，解這個(gè)關(guān)于α的等式，可得α=

5π

12

，從而得到tan

4

5

α=tan

π

3

=

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2

3

cosx(

3

cosx-sinx)=6cos2x-2

3

 sinxcosx
∴化簡(jiǎn)，得f（x）=3（1+cos2x）-

3

sin2x=-2

3

sin（2x-

π

3

）+3
∵-1≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴當(dāng)sin（2x-

π

3

）=-1時(shí)，f（x）的最大值為3+2

3

，
f（x）的最小正周期為

2π

2

=π；
（Ⅱ）由（I），得f(α)=-2

3

sin(2α-

π

3

)+3=3-2

3

∴sin(2α-

π

3

)=1
∴2α-

π

3

=

π

2

 +2kπ  （k為整數(shù)）
∵銳角α∈（0，

π

2

）
∴2α-

π

3

∈(-

π

3

，

2π

3

)，取k=0，得2α-

π

3

=

π

2

所以α=

5π

12

⇒

4

5

α=

π

3

∴tan

4

5

α=tan

π

3

=

3

點(diǎn)評(píng)：本題以含有正、余弦的二次函數(shù)式的化簡(jiǎn)求最值為載體，著重考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．