設數(shù)列
的前
項和為
,且
.
（1）證明:數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列
滿足
，求數(shù)列的前
項和為
．
(1)參考解析；（2）
【解析】
試題分析：（1）依題意可得遞推一個等式然后對減即可得到
的通項公式.再檢驗n=1時的情況即可.
（2）由（1）可得等比數(shù)列
的通項公式.從而得到
的通項公式
.求數(shù)列的前n項和在該通項公式中是一個等比數(shù)列和一個等差數(shù)列相加.所以是分別對兩個數(shù)列求和再相加即可.本題（1）是數(shù)列中常見的知識點，通過遞推在求差把含和的等式轉化為只有通項的形式.對于（2）的通項公式是一個和的形式.所以利用兩種形式要分開求.
試題解析：（1）證明：因為
，
則
1分
所以當
時，
，
整理得
．由，令
，得
，解得
．
所以是首項為3，公比為2的等比數(shù)列． 6分
（2）解：因為
，由
，得．
所以
所以
． 12分
考點：1.數(shù)列的遞推形式.2.等比數(shù)列求和.3.等差數(shù)列求和.
計算高手系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
（09年長沙一中一模文）（13分） 設數(shù)列
的前
項和為
，且
，其中
為常數(shù)且
．
（１）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（２）設數(shù)列的公比
，數(shù)列
滿足
，
（
求數(shù)列的通項公式；
（３）設
，
，數(shù)列
的前項和為
，求證：當
時，
．
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科目：高中數(shù)學 來源：廣東省佛山一中2010-2011學年高一下學期期末考試數(shù)學 題型：解答題
（本題滿分14分）.設數(shù)列
的前
項和為
，且
．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設
，數(shù)列
的前項和為
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖北省八校高三第二次聯(lián)考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
設數(shù)列
的前
項和為
，且滿足
.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）在數(shù)列的每兩項之間按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構成新數(shù)列：
與
兩項之間插入個數(shù)，使這
個數(shù)構成等差數(shù)列，其公差為
，求數(shù)列
的前項和為
.
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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年北京市海淀區(qū)高三5月查漏補缺數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
設數(shù)列
的前
項和為
，且滿足
.
（Ⅰ）求證：數(shù)列
為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求通項公式
；
（Ⅲ）若數(shù)列
是首項為1，公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列
的前項和為
.
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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年新疆烏魯木齊一中高三第一次月考文科數(shù)學試卷 題型：解答題
（本小題滿分12分）設數(shù)列
的前
項和為
，且
對于
任意的正整數(shù)都成立，其中
為常數(shù)，且
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列（4分）
（2）設數(shù)列的公比
，數(shù)列
滿足：
，
）（
，
，求證：數(shù)列
是等差數(shù)列，并求數(shù)列
的前項和
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