Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

x2+b

在x=1處取得極值2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）實(shí)數(shù)m滿足什么條件時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調(diào)遞增？
（3）是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，同時(shí)滿足：①m≤1；②當(dāng)x∈（-∞，m]時(shí)，f（x）≥m恒成立．若存在，請(qǐng)求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

ax

x2+b

，知f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，得

f′(1)=0 f(1)=2

由此能求出f(x)=

4x

x2+1

．
（2）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

=0⇒x=±1．列表討論得到f(x)=

4x

x2+1

的單調(diào)增區(qū)間為[-1，1]．由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調(diào)遞增時(shí)實(shí)數(shù)m的條件．
（3）當(dāng)m≤-1時(shí)，由（2）得f（x）在（-∞，m]單調(diào)遞減，要使f（x）≥m恒成立，必須f(x)min=f(m)=

4m

m2+1

≥m；當(dāng)-1＜m＜1時(shí)，由（2）得f（x）在（-∞，-1）單調(diào)遞減，在（-1，m]單調(diào)遞增，
要使f（x）≥m恒成立，必須f（x）_min=f（-1）=-2≥m．由此能求出滿足條件的m的取值范圍．

解答：解：（1）已知函數(shù)f（x）=

ax

x2+b

，
∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．…（2分）
又函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

，
即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1.

，
∴f(x)=

4x

x2+1

．…（4分）
（2）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

=0⇒x=±1．…（5分）

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值-2	單調(diào)遞增	極大值2	單調(diào)遞減

所以f(x)=

4x

x2+1

的單調(diào)增區(qū)間為[-1，1]．…（7分）
若（m，2m+1）為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，
則有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

，
解得-1＜m≤0．
即m∈（-1，0]時(shí)，（m，2m+1）為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．…（9分）
（3）分兩種情況討論如下：
①當(dāng)m≤-1時(shí)，由（2）得f（x）在（-∞，m]單調(diào)遞減，
要使f（x）≥m恒成立，
必須f(x)min=f(m)=

4m

m2+1

≥m，…（10分）
因?yàn)閙≤-1，

∴ 4 m2+1 ≤1，即m2+1≥4， ∴m2≥3

∴m≥

3

(舍去)或者m≤-

3

…（12分）
②當(dāng)-1＜m＜1時(shí)，
由（2）得f（x）在（-∞，-1）單調(diào)遞減，在（-1，m]單調(diào)遞增，
要使f（x）≥m恒成立，
必須f（x）_min=f（-1）=-2≥m，
故此時(shí)不存在這樣的m值．
綜合①②得：滿足條件的m的取值范圍是m≤-

3

．         …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性，難度大，易出錯(cuò)．