Question

已知函數(shù)：f(x)=x+

4

x

（1）判定f（x）的奇偶性，并證明；
（2）當(dāng)x＞0時，判斷f（x）在（0，2）和（2，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再利用奇函數(shù)的定義，證明函數(shù)f（x）=-f（-x），從而函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈（0，2），當(dāng)x₁＜x₂時，利用作差法證明f（x₁）-f（x₂）＞0，從而函數(shù)f（x）在（0，2）上為減函數(shù)，同理可證f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)

解答：解：（1）f（x）是奇函數(shù)，
因為對于任意的x（x≠0），
f(-x)=-x-

4

x

=-(x+

4

x

)=-f(x)
所以f（x）是奇函數(shù)        
（2）①當(dāng)x＞0時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2），
對于任意的x₁，x₂∈（0，2），當(dāng)x₁＜x₂時
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)•

x1x2-4

x1x2

．
因為0＜x₁x₂＜4，所以f（x₁）-f（x₂）＞0
所以f（x）在（0，2）上為減函數(shù)      
②當(dāng)x＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞），
對于任意的x₁，x₂∈（2，+∞），當(dāng)x₁＜x₂時
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)•

x1x2-4

x1x2

因為x₁x₂＞4，所以f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)

點評：本題主要考查了證明函數(shù)奇偶性的方法，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟，代數(shù)變形能力和邏輯推理能力