Question

已知函數(shù)，，其中．

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）解法1：∵，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052522151898772888/SYS201205252217047357718156_DA.files/image002.png">，   ∴．                

∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即．                                         

∵，∴．                                              

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時，是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴．　                                            

解法2：∵，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052522151898772888/SYS201205252217047357718156_DA.files/image010.png">，∴．               

令，即，整理，得．

∵，

∴的兩個實(shí)根（舍去），，

當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：

	—	0	＋
	↘	極小值	↗

依題意，，即，

∵，∴．                           

（2）解：對任意的都有≥成立等價于對任意的都有≥．                       

當(dāng)［1，］時，．∴函數(shù)在上是增函數(shù)．

∴．                       

∵，且，．

①當(dāng)且［1，］時，，

∴函數(shù)在［1，］上是增函數(shù)，

∴.

由≥，得≥，又，∴不合題意．                                 

 

②當(dāng)1≤≤時，若1≤＜，則，

若＜≤，則．

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

∴.

由≥，得≥，

又1≤≤，∴≤≤．                    

③當(dāng)且［1，］時，，

∴函數(shù)在上是減函數(shù)．

∴.

由≥，得≥，

又，∴．

綜上所述，的取值范圍為．

【解析】略