Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2(

π

4

+x)+

3

(sin2x-cos2x)，x∈[

π

4

， 

π

2

]．
（1）求f(

5π

12

)的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的解析式，代入所給的自變量的值，計算出結(jié)果，本題也可以先化簡再代入數(shù)值進(jìn)行運算．
（2）把所給的三角函數(shù)的解析式進(jìn)行恒等變形，整理出y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)正弦曲線的單調(diào)性寫出ωx+φ所在的區(qū)間，解出不等式即可．
（3）根據(jù)前面整理出來的結(jié)果，得到f（x）的值域，不等式|f（x）-m|＜2恒成立，解出關(guān)于絕對值的不等式，求出結(jié)果．

解答：解：（1）f(

5π

12

)=2sin2(

π

4

+

5π

12

)+

3

(sin2

5π

12

-cos2

5π

12

)=3． 
（2）f(x)=[1-cos(

π

2

+2x)]-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin(2x-

π

3

)．         
又 x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
當(dāng)

π

6

≤2x-

π

3

≤

π

2

時，f（x）單調(diào)遞增；
 當(dāng)

π

2

≤2x-

π

3

≤

2π

3

時，f（x）單調(diào)遞減，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[

π

4

，

5π

12

]；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[

5π

12

，

π

2

]． 
（3）由（2）得 2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3，
∴f（x）的值域是[2，3]．
|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[

π

4

，

π

2

]．
∴m＞f（x）_max-2且 m＜f（x）_min+2，
∴1＜m＜4，即m的取值范圍是（1，4）．

點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換和三角函數(shù)的最值，本題解題的關(guān)鍵是正確整理出函數(shù)的最簡結(jié)果，本題的難度和高考卷中出現(xiàn)的題目的難度相似．