Question

（2013•懷化三模）某產(chǎn)品具有一定的時效性，在這個時效期內(nèi)，由市場調(diào)查可知，在不作廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件．若作廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元時比廣告費(fèi)為（n-1）千元時多賣出

b

2n

件，（n∈N^*）．
（1）試寫出銷售量s與n的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)a=10，b=4000時廠家應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品，做幾千元廣告，才能獲利最大？

Answer 1

分析：對于（1）中的函數(shù)關(guān)系，設(shè)廣告費(fèi)為n千元時的銷量為s_n，則s_n-1表示廣告費(fèi)為（n-1）元時的銷量，由題意，s_n--s_n-1=

b

2n

，可知數(shù)列{s_n}不成等差也不成等比數(shù)列，但是兩者的差

b

2n

構(gòu)成等比數(shù)列，對于這類問題一般有以下兩種方法求解：一、直接列式：由題，s=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

=b（2-

1

2n

）
解法二、利用累差疊加法：S1-S0=

b

2

，S2-S1=

b

22

，…Sn-Sn-1=

b

2n

，累加結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求S_n
（2））b=4000時，s=4000（2-

1

2n

），設(shè)獲利為T_n，則有T_n=s•10-1000n=40000（2-

1

2n

）-1000n，
欲使T_n最大，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，代入結(jié)合n為正整數(shù)解不等式可求n，進(jìn)而可求S的最大值

解答：（1）解法一、直接列式：由題，s=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

=b（2-

1

2n

）（廣告費(fèi)為1千元時，s=b+

b

2

；2千元時，s=b+

b

2

+

b

22

；…n千元時s=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

）
解法二、（累差疊加法）設(shè)s₀表示廣告費(fèi)為0千元時的銷售量，
由題：

s1-s0= b 2 s2-s1= b 22 … sn-sn-1= b 2n

，相加得S_n-S₀=

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

，
即S_n=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

=b（2-

1

2n

）．
（2）b=4000時，s=4000（2-

1

2n

），設(shè)獲利為t，則有t=s•10-1000n=40000（2-

1

2n

）-1000n
欲使T_n最大，則

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，得

n≥5 n≤5

，故n=5，此時s=7875．
即該廠家應(yīng)生產(chǎn)7875件產(chǎn)品，做5千元的廣告，能使獲利最大．

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的疊加求解通項公式，利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（小）項，解題中要注意函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用．