Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=2，且數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項依次組成公差為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項依次組成公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足bn=

a2n-1

a2n

，記數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，
（1）寫出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求S_n；
（3）證明：當(dāng)n≥6時，2-Sn＜

1

n

．

Answer 1

分析：（1）由題意知an=

n+1 2 n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 n=2k(k∈N*)

．
（2）bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，Sn=

1

2

+

2

4

+

3

8

++

n

2n

，

1

2

Sn=

1

4

+

2

8

+

3

16

++

n-1

2n

+

n

2n+1

，用錯位相減法可以求出Sn=2-(n+2)(

1

2

)n．
（3）2-Sn=(n+2)(

1

2

)n＜

1

n

?n2+2n＜2n，由此能夠求出當(dāng)n≥6時，2-Sn＜

1

n

．

解答：解：（1）an=

n+1 2 n為奇數(shù) 2 n 2 n為偶數(shù)

；即an=

n+1 2 n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 n=2k(k∈N*)

；
（2）bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，
Sn=

1

2

+

2

4

+

3

8

++

n

2n

，

1

2

Sn=

1

4

+

2

8

+

3

16

++

n-1

2n

+

n

2n+1

，
兩式相減，得

1

2

Sn=

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

++

1

2n

-

n

2n+1

=[1-(

1

2

)n]-

n

2n+1

，
所以，Sn=2-(n+2)(

1

2

)n；
（3）2-Sn=(n+2)(

1

2

)n＜

1

n

?n2+2n＜2n，
當(dāng)n≥6時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ
≥2+2n+n（n-1）+

n(n-1)(n-2)

6

≥2+2n+n²-n+n＞n²+2n，
所以，當(dāng)n≥6時，2-Sn＜

1

n

．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運用，難度較大．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．