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        1. 已知橢圓C的中心為原點O,點F(1,0)是它的一個焦點,直線l過點F與橢圓C交于A,B兩點,當直線l垂直于x軸時,=
          (I)求橢圓C的方程;
          (II)已知點P為橢圓的上頂點,且存在實數(shù)t使成立,求實數(shù)t的值和直線l的方程.
          【答案】分析:(I)設橢圓C的方程為(a>b>0),則a2-b2=1,當l垂直于x軸時,A,B兩點的坐標分別是(1,)和(1,-),由=(1,)•(1,-)=1-,知a2=2b4,由此能求出橢圓C的方程.
          (II)當直線斜率不存在時,A(1,),B(1,-),P(0,1),=(1,-1),=(1,--1),=(1,-1),由t使,得直線l的方程為x=1當直線斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x-1),A=(x1,y1),B=(x2,y2),=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),=(1,-1),由t使+=t,得直線l的方程為y=-x+1.由此能求出結果.
          解答:解:(I)設橢圓C的方程為(a>b>0),
          則a2-b2=1,①
          ∵當l垂直于x軸時,A,B兩點的坐標分別是(1,)和(1,-),
          =(1,)•(1,-)=1-,
          則1-=,即a2=2b4.②
          由①,②消去a,得2b4-b2-1=0.∴b2=1或b2=-
          當b2=1時,a2=2.因此,橢圓C的方程為
          (II)當直線斜率不存在時,A(1,),B(1,-),P(0,1),
          所以=(1,-1),=(1,--1),=(1,-1),
          由t使,得t=2,直線l的方程為x=1
          當直線斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x-1),A=(x1,y1),B=(x2,y2),
          所以,=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),=(1,-1),
          由t使+=t,得
          ,即
          因為y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
          所以,y1+y2=k(x1+x2-2),解得:k=-1
          此時,直線l的方程為y=-x+1,
          聯(lián)立,得3x2-4x=0,t=x1+x2=,
          ∴當直線斜率存在時,t=,直線l的方程為y=-x+1,
          綜上所述,存在實數(shù)t,且t=2時,直線方程x=1,
          當t=1時,直線l的方程為y=-x+1.
          點評:本題考查橢圓方程的求法,考查直線方程的求法,解題時要認真審題,注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
          練習冊系列答案
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          3
          2
          ,且點(1,
          3
          2
          )
          在該橢圓上.
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)如圖,橢圓C 的長軸為AB,設 P 是橢圓上異于 A、B 的任意一點,PH⊥x軸,H為垂足,點Q 滿足
          PQ
          =
          HP
          ,直線AQ與過點B 且垂直于x 軸的直線交于點M,
          BM
          =4
          BN
          .求證:∠OQN為銳角.

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          OA
          OB
          =
          1
          2

          (I)求橢圓C的方程;
          (II)已知點P為橢圓的上頂點,且存在實數(shù)t使
          PA
          +
          PB
          =t
          PF
          成立,求實數(shù)t的值和直線l的方程.

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          2
          2

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          (Ⅱ)已知點P在橢圓C上,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.

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          (2)如圖,橢圓C 的長軸為AB,設 P 是橢圓上異于 A、B 的任意一點,PH⊥x軸,H為垂足,點Q 滿足,直線AQ與過點B 且垂直于x 軸的直線交于點M,.求證:∠OQN為銳角.

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