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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          a
          x
          +lnx-1(a是常數(shù),e=2.71828).
          (Ⅰ)若x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
          (Ⅱ)當(dāng)a=1時,方程f(x)=m在x∈[
          1
          e
          ,e2]
          上有兩解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
          分析:(I)根據(jù)x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)則f′(2)=0,可求出a的值,然后求出f′(1)得到切線的斜率,最后根據(jù)點(diǎn)斜式可求出切線方程;
          (II)先求導(dǎo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在[
          1
          e
          ,e2]
           上的單調(diào)性,求出函數(shù)的極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值,從而可求出m的取值范圍.
          解答:解:(Ⅰ) 定義域?yàn)椋?,+∞),f′(x)=a×(-
          1
          x2
          )+
          1
          x
          =
          x-a
          x2

          ∵x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),
          ∴f′(2)=
          2-a
          4
          =0,解得a=2
          ∴f′(x)=
          x-2
          x2
          ∴f′(1)=-1
          又f(1)=1
          ∴所求切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0為所求.…6分
          (Ⅱ)當(dāng)a=1時,f(x)=
          1
          x
          +lgx-1
          ,f′(x)=
          x-1
          x2
          ,其中x∈[
          1
          e
          ,e2]

          當(dāng)x∈[
          1
          e
          ,1)時,f′(x)<0;x∈(1,e2]時,f′(x)>0,
          ∴x=1是f(x)在[
          1
          e
          ,e2]
           上唯一的極小值點(diǎn),
          ∴[f(x)]min=f(1)=0
          又f(
          1
          e
          )=e-2,f(e2)=
          1
          e2
          +lge2-1
          =
          1
          e2
          +1
          ,f(
          1
          e
          )-f(e2)=e-2-
          1
          e2
          -1<0
          綜上,所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|0<m≤e-2}.…12分.
          點(diǎn)評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)處的切線,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的值域,同時考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a-x2
          x
          +lnx  (a∈R , x∈[
          1
          2
           , 2])

          (1)當(dāng)a∈[-2,
          1
          4
          )
          時,求f(x)的最大值;
          (2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過原點(diǎn),則不等式f(x)>
          34
          的解集為
          (-∞,-2)
          (-∞,-2)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),解不等式f(
          2x
          )>3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
          (1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時的x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
          f(x)   ,  x>0
          -f(x) ,    x<0
           給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時,若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號是
           

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          同步練習(xí)冊答案