Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為 ．

（Ⅰ）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標(biāo)為（4，），判斷點P與直線l的位置關(guān)系；

（Ⅱ）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最值；

（Ⅲ）請問是否存在直線 ，∥l且與曲線C的交點A、B滿足；

若存在請求出滿足題意的所有直線方程，若不存在請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I）點P在直線上.

（II）當(dāng)時，d取得最小值，且最小值為

當(dāng)時，d取得最大值，且最大值為3

（Ⅲ）滿足題意直線m有4條，方程為： 。

【解析】

試題分析：（I）把極坐標(biāo)系下的點化為直角坐標(biāo)，得P（0，4）2分

因為點P的直角坐標(biāo)（0，4）滿足直線的方程，所以點P在直線上.4分

（II）因為點Q在曲線C上，故可設(shè)點Q的坐標(biāo)為，5分

從而點Q到直線的距離為

，    6分

由此得，當(dāng)時，d取得最小值，且最小值為

當(dāng)時，d取得最大值，且最大值為3         8分

（Ⅲ）設(shè)平行線m方程：x-y+n = 0                 9分

橢圓與直線方程聯(lián)立再由弦長公式得

設(shè)O到直線m的距離為d，則        10分

 

經(jīng)驗證均滿足題意

所以滿足題意直線m有4條，方程為： 12分

考點：點的極坐標(biāo)，橢圓的參數(shù)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線方程。

點評：中檔題，本題綜合性較強，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系，通過建立方程組，應(yīng)用韋達定理、弦長公式等，進一步表示出三角形面積，從而建立“變量”的方程，達到解題目的。思路比較明確。