Question

已知向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(2cosx，2cosx)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）求|

a

|及f(

π

24

)的值；K*s5*u
（Ⅱ）在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且f(C+

π

24

)=1，c=4，ab=3，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量模的公式和平方關(guān)系求出向量的模，利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示和兩角和正弦公式、倍角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)后，再求出f(

π

24

 )的值；
（II）由（I）和題意求出角C的值，再由余弦定理和a²+b²=（a+b）²-2ab，求出a+b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

=(cosx，sinx)，∵|

a

|=

cos2x+sin2x

=1，
∵

b

=(2cosx，2cosx)，∴f(x)=

a

•

b

=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
∴f(

π

24

)=

2

sin(

π

12

+

π

4

)+1=

2

sin

π

3

+1=

6

2

+1
（Ⅱ）由（I）得，f(C+

π

24

)=1得，sin(2C+

π

3

)=0，
解得，2C+

π

3

=π，則C=

π

3

，
∵c=4，ab=3，∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
解得，a+b=5
∴△ABC的周長(zhǎng)=a+b+c=9．

點(diǎn)評(píng)：本題是有關(guān)向量和三角函數(shù)的綜合題，涉及了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，兩角和的正弦公式，余弦定理以及整體代換等，考查知識(shí)全面、綜合，考查了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和轉(zhuǎn)化思想．