Question

（05年遼寧卷）（14分）

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是

、，是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足，

點(diǎn)Ｐ是線段與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)Ｔ在線段上，并且

滿足．

（Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)Ｐ的橫坐標(biāo)，證明 ；

（Ⅱ）求點(diǎn)Ｔ的軌跡Ｃ的方程；

（Ⅲ）試問：在點(diǎn)Ｔ的軌跡Ｃ上，是否存在點(diǎn)Ｍ，使△的面積．若存在，求

∠的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

由P在橢圓上，得

由，所以             ……3分

證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記

則

由，得

．

證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

橢圓的左準(zhǔn)線方程為

      由橢圓第二定義得，即

       由，所以            ……3分

 

（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 

           當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上.

當(dāng)|時(shí)，

由，得.

又，所以T為線段F₂Q的中點(diǎn).

在△QF₁F₂中，，所以有

綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是                ……7分

 

解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上.

       當(dāng)|時(shí)，由，得.

       又，所以T為線段F₂Q的中點(diǎn).

       設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則

       因此                          ①

       由得        ②

       將①代入②，可得

       綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是                ……7分

③ ④

   （Ⅲ）解法一：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是

        

       由③得，

由④得

所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；

       當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.                                        ……11分

       當(dāng)時(shí)，，

       由，

       ，

       ，得

解法二：

C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是

③ ④

        

       由④得 上式代入③得

       于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；

       當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.                                        ……11分

       當(dāng)時(shí)，記，

       由知，所以

                                          ……14分