Question

如圖l，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點．如圖2，將△ABE沿AE折起，使面BAE⊥面AECD，連接BC，BD，F(xiàn)是CD的中點，P是棱BC的中點．
（1）求證：AE⊥BD；’
（2）求證：平面PEF⊥平面AECD．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，取AE中點M，連接BM，DM，根據(jù)等邊三角形可知BM⊥AE，DM⊥AE，BM∩DM=M，BM，DM?平面BDM，滿足線面垂直的判定定理則AE⊥平面BDM，而BD?平面BDM，得到AE⊥BD．
（2）連接CM交EF于點N，連接PN，先證四邊形MECF是平行四邊形，然后根據(jù)N是線段CM的中點得到P是線段BC的中點，從而PN∥BM，根據(jù)BM⊥平面AECD即可得到PN⊥平面AECD．
解答：證明：（1）連接BD，取AE中點M，連接BM，DM．
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點
∴△ABE與△ADE都是等邊三角形
∴BM⊥AE，DM⊥AE
∵BM∩DM=M，BM，DM?平面BDM
∴AE⊥平面BDM∵BD?平面BDM
∴AE⊥BD．
（2）證明：連接CM交EF于點N，∵ME∥FC，ME=FC，∴四邊形MECF是平行四邊形，∴N是線段CM的中點．
∵P是BC的中點，∴PN∥BM．
∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD．
又∵PN?平面PEF，
∴平面PEF⊥平面AECD．．
點評：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查線線垂直、面面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，運算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．