Question

【題目】若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足： 和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù), ,有下列命題：

①在內(nèi)單調(diào)遞增；

②和之間存在“隔離直線”，且的最小值為-4；

③和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是；

④和之間存在唯一的“隔離直線”.

其中真命題的個(gè)數(shù)有( )

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】①， ，在內(nèi)單調(diào)遞增，故①正確；②，③設(shè)的隔離直線為，則對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，即有，又對(duì)一切成立，則，即，即有且，同理可得，故②正確，③錯(cuò)誤，④函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此存在和的隔離直線，那么該直線過這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為，則隔離直線方程為，即，由，可得，當(dāng)恒成立，則，只有，此時(shí)直線方程為，下面證明，令 ， ，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 取到極小值，極小值是，也是最小值， ，則， 函數(shù)和存在唯一的隔離直線，故④正確，真命題的個(gè)數(shù)有三個(gè)，故選C.