Question

已知f（x）為一次函數(shù)，且f（x）=x

∫

2 0

f（t）dt+1，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x），求曲線y=g（x）與x軸所圍成的區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合定積分的定義求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求出g（x），應(yīng)用定積分來求旋轉(zhuǎn)體的體積．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=kx+b，
∵f（x）=x

∫

2 0

f（t）dt+1，
∴kx+b=x•（

kt2

2

+bt）

|

2 0

+1，
∴kx+b=（2k+2b）x+1，
∴k=-2，b=1，
∴f（x）=-2x+1，；
2）g（x）=xf（x）=-2x²+x，
∴V=π

∫

1 2 0

[xf(x)]2dx=

π

240

．

點評：本題主要考查了定積分，定積分運算是求導(dǎo)的逆運算，以及待定系數(shù)法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．