Question

已知數列{a_n}的前n項的和為S_n，且對任意的正整數n都有．
（1）求a₁，a₂及數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足：b₁=1，當n≥2時，，證明：當n≥2時，=；
（3）在（2）的條件下，試比較與4的大小關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用及其等差數列的通項公式即可得出；
（2）利用（1）得出當n≥2時，，的表達式，相減即可得出；
（3）當n≥2時，，可得．利用（2）及“累乘求積”、“放縮法”、“裂項求和”即可得出．
解答：解：（1）∵，∴a₁=1，）
又由，∴a₂=2，
又當n≥2時，，，
兩式相減得
∴a_n+a_n-1=2n-1（n≥2）
又a_n+1+a_n=2n+1（n≥1），兩式相減得a_n+1-a_n-1=2（n≥2）
即數列{a_n}的奇數項是首項為1，公差為2等差數列；
偶數項是首項為2，公差為2等差數列．
∴a_2n-1=2n-1，a_2n=2n
∴a_n=n．
（2）當n≥2時，①
②
由②-①得．
（3）當n=1時，，當n=2時，
∴
當n≥2時，，∴
當n≥3時，=
=
=
=
==．
點評：熟練掌握利用及其等差數列的通項公式求a_n、變形利用“累乘求積”、“放縮法”、“裂項求和”等方法是解題的關鍵．