Question

給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色．當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相連的著色方案如圖所示：由此推斷，當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形互不相連的著色方案共有多少種，至少有兩個(gè)黑色正方形相連的著色方案共有多少種？

Answer 1

分析：根據(jù)所給的涂色的方案，觀(guān)測(cè)相互之間的方法數(shù)，得到規(guī)律，根據(jù)這個(gè)規(guī)律寫(xiě)出當(dāng)n取不同值時(shí)的結(jié)果數(shù)；利用給小正方形涂色的所有法數(shù)減去黑色正方形互不相鄰的著色方案，得到結(jié)果．

解答：解：設(shè)n個(gè)正方形時(shí)黑色正方形互不相鄰的著色方案數(shù)為a_n，
由圖形知：
a₁=2，a₂=3，
a₃=5=2+3=a₁+a₂
a₄=8=3+5=a₂+a₃
由此推斷a₅=a₃+a₄=5+6=13，a₆=a₄+a₅=8+13=21，
故黑色正方形互不相鄰著色方案共有21種；
由于給6個(gè)正方形著黑色或白色，每一個(gè)小正方形有2種方法，
所以一共有2×2×2×2×2×2=2⁶=64種方法，
由于黑色正方形互不相鄰著色方案共有21種，
所以至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰著色方案共有64-21=43種著色方案，
答：當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形互不相連的著色方案共有21種，至少有兩個(gè)黑色正方形相連的著色方案共有43種．

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單的排列組合及簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查觀(guān)察規(guī)律，找出結(jié)果的過(guò)程，是一個(gè)比較麻煩的題目，作為高考題目比前幾年的排列組合問(wèn)題相對(duì)簡(jiǎn)單點(diǎn)．