Question

設(shè)圓Q過點(diǎn)P(0,2),且在x軸上截得的弦RG的長(zhǎng)為4.

(1)求圓心Q的軌跡E的方程;

(2)過點(diǎn)F(０,１),作軌跡E的兩條互相垂直的弦AB、CD,設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N,試判斷直線MN是否過定點(diǎn)？并說明理由.

Answer 1

解:(1)設(shè)圓心Q的坐標(biāo)為(x,y),如圖,過圓心Q作QH⊥x軸于H,

則H為RG的中點(diǎn),在Rt△RHQ中,QR²=QH²+RH².2分∵QR=QP,RH=2,

∴x²+(y-2)²=y²+4,即x²=4y.

(2)設(shè)A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),M(x_M,y_M),N(x_N,y_N),直線AB的方程為y=kx+1(k≠0),則x_A²=4y_A,①

x_B²=4y_B.②

由①-②得x_A+x_B==4k,∴x_m=2k.∵點(diǎn)M(x_M,y_M)在直線y=kx+1上,

∴y_M=kx_M+1=2k²+1.∴點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)為(2k,2k²+1).

同理可得x_C+x_D=,x_n=,y_n=x_N+1=+1.

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,+1).

直線MN的斜率為k_MN=,其方程為

y-2k²-1=(x-2k),整理得k(y-3)=(k²-1)x,顯然,不論k為何值,點(diǎn)(0,3)均滿足方程,

∴直線MN恒過定點(diǎn)(0,3).