Question

【題目】已知極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標方程是ρ=asinθ，直線l的參數方程是 （t為參數）
（1）若a=2，直線l與x軸的交點是M，N是圓C上一動點，求|MN|的最大值；
（2）直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑的 倍，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，圓C的直角坐標方程為x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．∴圓C的圓心坐標為C（0，1），半徑r=1．

令y= =0得t=0，把t=0代入x=﹣ 得x=2．∴M（2，0）．

∴|MC|= = ．∴|MN|的最大值為|MC|+r=

（2）解：由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ，∴圓C的直角坐標方程是x2+y2=ay，即x2+（y﹣ ）2= ．

∴圓C的圓心為C（0， ），半徑為| |，

直線l的普通方程為4x+3y﹣8=0．

∵直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑的 倍，

∴圓心C到直線l的距離為圓C半徑的一半．

∴ =| |，解得a=32或a=

【解析】（1）求出圓C的圓心和半徑，M點坐標，則|MN|的最大值為|MC|+r；（2）由垂徑定理可知圓心到直線l的距離為半徑的 ，列出方程解出．