Question

如圖，五面體A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC是正三角形，AB=2．四邊形BCC₁B₁是矩形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，D為AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-ABC₁的體積．

Answer 1

分析：（1）連接B₁C交BC₁于O，連接DO，根據(jù)四邊形BCC₁B₁是矩形可判斷出，O為B₁C中點(diǎn)，進(jìn)而利用D為AC中點(diǎn)，判斷出DO∥AB₁，進(jìn)而根據(jù)線面平行的法則判斷出AB₁∥平面BDC₁．
（2）首先根據(jù)勾股定理求得BB₁，進(jìn)而求得三角形BC₁B₁的面積，A到平面BCC₁B₁的距離為△ABC的高進(jìn)而根據(jù)三棱錐的體積公式求得答案．

解答：證明：（Ⅰ）連接B₁C交BC₁于O，連接DO，
∵四邊形BCC₁B₁是矩形
∴O為B₁C中點(diǎn)
又D為AC中點(diǎn)，從而DO∥AB₁
∵AB₁?平面BDC₁，DO?平面BDC₁
∴AB₁∥平面BDC₁．
（Ⅱ）BB1=

AB12-AB2

=2

3

三角形BC₁B₁的面積S=

1

2

BB1×B1C1=

2 3

2

×2=2

3

A到平面BCC₁B₁的距離為△ABC的高

3

∴VB1-ABC1=VA-BC1B1=

1

3

×2

3

×

3

=2
因此，三棱錐B₁-ABC₁的體積為2．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面平行的判定和三棱錐體積的計(jì)算．考查了學(xué)生對所學(xué)知識的理解和靈活利用．