Question

如圖，四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1．

(Ⅰ)證明：SD⊥平面SAB

(Ⅱ)求AB與平面SBC所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(Ⅰ)取AB中點E，連結DE，則四邊形BCDE為矩形，DE＝CB＝2． 　　連結SE，則 　　又SD＝1，故 　　所以為直角． 　　由，得 　　，所以． 　　SD與兩條相交直線AB、SE都垂直． 　　所以 　　(Ⅱ)由知， 　　作，垂足為F，則， 　　作，垂足為G，則FG＝DC＝1． 　　連結SG，則 　　又，，故， 　　作，H為垂足，則． 　　 　　即F到平面SBC的距離為． 　　由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距離d也為． 　　設AB與平面SBC所成的角為，則，． 　　解法二： 　　以C為坐標原點，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系C－xyz，設D(1，0，0)，則A(2，2，0)，B(0，2，0)． 　　又設S(x，y，z)，則x＞0，y＞0，z＞0． 　　(Ⅰ) 　　由得 　　故x＝1． 　　由得， 　　又由得， 　　即，故． 　　于是， 　　 　　故，又 　　所以． 　　(Ⅱ)設平面SBC的法向量， 　　則 　　又 　　故 　　取p＝2得，又 　　． 　　故AB與平面SBC所成的角為．

提示：

第(Ⅰ)問的證明的突破口是利用等邊三角形SAB這個條件，找出AB的中點E，連結SE，DE，就做出了解決這個問題的關鍵輔助線． 　　(Ⅱ)本題直接找線面角不易找出，要找到與AB平行的其它線進行轉移求解．