Question

已知集合M是由滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體所組成的集合：在定義域內(nèi)存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）指出函數(shù)f（x）=

1

x

是否屬于M，并說明理由；
（2）設函數(shù)f（x）=lg

a

x2+1

屬于M，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）假設f（x）屬于M，則f（x）具有M的性質(zhì)，列出方程解方程無解，則得到f（x）不屬于M．
（2）f（x）屬于M，則f（x）具有M的性質(zhì)，列出方程有解則△≥0，求出a的范圍．

解答：解：：（1）若f（x）=

1

x

屬于M，則存在x₀∈（-∞，0）∪（0，+∞），使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，
則x₀²+x₀+1=0，因為方程x₀²+x₀+1=0無解，所以f（x）=

1

x

不屬于M
（2）由f（x）=lg

a

x2+1

屬于M知，有l(wèi)g

a

(x+1)2+1

=lg

a

x2+1

+lg

a

2

有解，
即（a-2）x²+2ax+2（a-1）=0有解；
當a=2時，x=-

1

2

；
當a≠2時，由△≥0，得a²-6a+4≤0，得a∈[3-

5

，2]∪（2，3+

5

]，
又因為對數(shù)的真數(shù)大于0，
所以a＞0
所以a∈[3-

5

，，3+

5

]

點評：本題考查元素屬于集合則元素具有集合的屬性；不具有集合的公共屬性則元素不屬于集合．