Question

某射擊運(yùn)動員為爭取獲得2010年廣州亞運(yùn)會的參賽資格正在加緊訓(xùn)練．已知在某次訓(xùn)練中他射擊了n槍，每一槍的射擊結(jié)果相互獨(dú)立，每槍成績不低于10環(huán)的概率為p，設(shè)ξ為本次訓(xùn)練中成績不低于10環(huán)的射擊次數(shù)，ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=

15

2

，方差Dξ=

15

8

．
（1）求n，p的值；
（2）訓(xùn)練中教練要求：若有5槍或5槍以上成績低于10環(huán)，則需要補(bǔ)射，求該運(yùn)動員在本次訓(xùn)練中需要補(bǔ)射的概率．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示．已知：4¹⁰=1048576，120×3³+210×3⁴+252×3⁵=81486）

Answer 1

分析：（1）依題意知每一槍的射擊結(jié)果相互獨(dú)立，每槍成績不低于10環(huán)的概率為p，ξ服從二項分布ξ～B（n，p），根據(jù)條件中所給的期望和方差的值，代入二項分布求期望和方差的公式，解方程組得到結(jié)果．
（2）該運(yùn)動員在本次訓(xùn)練中需要補(bǔ)射表示有5槍或5槍以上成績低于10環(huán)，ξ為本次訓(xùn)練中成績不低于10環(huán)的射擊次數(shù)，依題意知ξ的可能取值為：0，1，…，10，把具體數(shù)據(jù)代入公式P（ξ=k）=C_n^kp^k（1-p）^n-k（k=0，1，…，10），得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵依題意知每一槍的射擊結(jié)果相互獨(dú)立，每槍成績不低于10環(huán)的概率為p，
∴ξ服從二項分布ξ～B（n，p）
∴Eξ=np=

15

2

①
Dξ=np(1-p)=

15

8

②
由①②聯(lián)立解得：n=10，p=

3

4

（2）該運(yùn)動員在本次訓(xùn)練中需要補(bǔ)射表示有5槍或5槍以上成績低于10環(huán)，
ξ為本次訓(xùn)練中成績不低于10環(huán)的射擊次數(shù)，
依題意知ξ的可能取值為：0，1，…，10
∵P（ξ=k）=C_n^kp^k（1-p）^n-k（k=0，1，…，10）
∴P（ξ≤5）=P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）+…+P（ξ=5）
=

C

0 10

(

1

4

)10+

C

1 10

3

4

(

1

4

)9++

C

5 10

(

3

4

)5(

1

4

)5
=(

1

4

)10(1+10×3+45×32+120×33+210×34+252×35)
=(

1

4

)10(1+30+405+81486)
=

81922

1048576

=

40961

524288

．
∴該運(yùn)動員在本次訓(xùn)練中需要補(bǔ)射的概率為

40961

524288

．

點(diǎn)評：本題是一個離散型隨機(jī)變量分布列問題時，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運(yùn)算要簡單的多．