Question

（2011•韶關(guān)模擬）已知函數(shù)f(x)=2

3

cos2x-2sinxcosx-

3

．
（1）求函數(shù)的最小正周期及最小值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)f（x）的解析式為 2cos（2x+

π

6

），由此求得函數(shù)的最小正周期，及最值．
（2）令2kπ-π≤2x+

π

6

≤2kπ，求出x的范圍，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）=2

3

cos²x-2sinxcosx-

3

=

3

（cos2x+1）-sin2x-

3

…（2分）
=2cos（2x+

π

6

）…（4分）
故函數(shù)的最小正周期為π．…（6分）
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

+2kπ(k∈Z)時(shí)，即x=

π

6

+kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)有最小值-2．…（8分）
（2）令2kπ-π≤2x+

π

6

≤2kπ，…（10分）
可得 kπ-

7π

12

≤x≤kπ-

π

12

，k∈Z，…（12分）
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為  [kπ-

7π

12

， kπ-

π

12

]，k∈Z．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性以及求法，求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．