Question

有一個翻硬幣游戲，開始時硬幣正面朝上，然后擲骰子根據(jù)下列①、②、③的規(guī)則翻動硬幣：①骰子出現(xiàn)1點時，不翻動硬幣；②出現(xiàn)2，3，4，5點時，翻動一下硬幣，使另一面朝上；③出現(xiàn)6點時，如果硬幣正面朝上，則不翻動硬幣；否則，翻動硬幣，使正面朝上。按以上規(guī)則，在骰子擲了n次后，硬幣仍然正面朝上的概率記為P_n。
（1）求證：n∈N*，點（P_n，P_n+1）恒在過定點斜率為-的直線上；
（2）求數(shù)列{P_n}的通項公式P_n；
（3）用記號S_n→m表示數(shù)列{P_n-}從第n項到第m項之和，那么對于任意給定的正整數(shù)k，求數(shù)列S_1→k，S_k+1→2k，…S_{（n-1）k+1→nk}的前n項和T_n。

Answer 1

解：（1）設(shè)把骰子擲了n+1次，硬幣仍然正面朝上的概率為P_n+1，此時有兩種情況：
①第n次硬幣正面朝上，其概率為P_n，且第n+1次骰子出現(xiàn)1點或6點，硬幣不動，其概率為
因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為。
②第n次硬幣反面朝上，其概率為1-P_n，且第n+1次骰子出現(xiàn)2，3，4，5點或6點，其概率為
因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為。
∴
變形得
∴，點恒在過定點，斜率為的直線上。
（2）
又由（1）知
∴是首項為，公比為的等比數(shù)列
∴
故所求通項公式為
。
（3）由（2）知，是首項
公比為等比數(shù)列
又∵是常數(shù)
∴也成等比數(shù)列
且
從而
。