Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1），a∈R．（注：）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性．
（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，求f（x₂）的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′（x）=2x+==，
①當(dāng)a≥時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＜時(shí)，f′（x）=0有兩個(gè)解，，，且x₁＜x₂，
若x₁＞-1，即0＜a＜時(shí)，-1＜x₁＜x₂，此時(shí)f（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減；
若x₁≤-1，即a≤0時(shí)，x₁≤-1＜x₂，此時(shí)f（x）在（-1，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）由（1）知：當(dāng)0＜a＜時(shí)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，，，x₁＜x₂，
則f（x₂）=+aln（+1），令t=，0＜t＜1，a=，，
f（x₂）=+ln，令g（t）=+ln（0＜t＜1），g′（t）=-tln＞0，
所以g（t）在（0，1）上為增函數(shù)，所以g（0）＜g（t）＜g（1），即+＜g（t）＜0，
故f（x₂）的取值范圍為（+，0）．
分析：（1）先求函數(shù)f（x）的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f′（x），由于含參數(shù)a，分類討論解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即；
（2）由（1）知存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)a的范圍，表示出f（x₂），構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求得其最值，從而得到取值范圍；
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)最值問(wèn)題，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．