Question

一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上且短軸長(zhǎng)為8，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓基本量的平方關(guān)系和等差中項(xiàng)列式，解關(guān)于a、c的方程得c=

3

5

a，即可得到該橢圓的離心率；
（2）設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由b=4結(jié)合（1）的結(jié)論算出a=3，從而得到該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距成等差數(shù)列
∴2b=a+c，平方得4（a²-c²）=（a+c）²
化簡(jiǎn)得5c²+2ac-3a²=0，解之得c=

3

5

a
因此，該橢圓的離心率e=

c

a

=

3

5

；
（2）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由（1）得2b=8，得b=4=

a2-c2

結(jié)合c=

3

5

a，解得a=5
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

25

+

y2

16

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距成等差數(shù)列，并依此在短軸長(zhǎng)為8的情況下求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、等差數(shù)列等知識(shí)，屬于中檔題．