Question

已知⊙C：x²+y²=16，直線l：mx-y+2-2m=0
（1）求證：對m∈R，直線l與⊙C總有兩個不同的交點；
（2）求直線l與圓⊙C相交所得弦長為整數(shù)的弦的條數(shù)．

Answer 1

分析：（1）有直線的方程可得直線L過定點M，而點M在圓C的內(nèi)部，從而可得直線L與圓C必相交兩個不同的點．
（2）由于當弦長最短時，MC和直線l垂直，求出AB，直線經(jīng)過圓的圓心時弦長最大，然后判斷所得弦長為整數(shù)的弦的條數(shù)．

解答：解：（1）∵直線l：mx-y+2-2m=0，即（x-3）m-y+2=0，

x-2=0 y+2=0

，∴

x=2 y=2

，它的圖象經(jīng)過定點M（2，2），而2²+2²=8＜16，所以，點M（2，2）在圓C內(nèi)，
所以：直線l與⊙C總有兩個不同的交點．
（2）由直線l經(jīng)過⊙C的圓心時，弦長AB取得最大值：8，此時m=1，
當直線l⊥MC時，弦長AB取得最小值，MC=2

2

，∴AB=2

16-8

=4

2

，
此時m=-1，．
綜上有：4

2

≤|AB|≤8，弦長為整數(shù)的值為：6，7，8而AB=8時只有1條，
直線l與圓⊙C相交所得弦長為整數(shù)的弦的有5條．

點評：本題主要考查直線過定點問題，直線和圓的位置關(guān)系，直線與相交的弦長問題，屬于中檔題．