Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB和BC的中點，EF交BD于H．
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）試在棱B₁B上找一點M，使D₁M⊥平面EFB₁，并證明你的結論；
（3）求點D₁到平面EFB₁的距離．

Answer 1

分析：（1）連AC、B₁H，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠B₁HB為二面角B₁-EF-B的平面角，在Rt△B₁HB中求出此角的正切值即可；
（2）在棱B₁B上取中點M，連D₁M、C₁M，欲證D₁M⊥平面EFB₁，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證D₁M與平面EFB₁內(nèi)兩相交直線垂直，而EF⊥D₁M，B₁F⊥D₁M，滿足定理條件；
（3）設D₁M與平面EFB₁交于點N，則D₁N為點D₁到平面EFB₁的距離，在Rt△MB₁D₁中利用射影定理求出D₁N即可．

解答：解：（1）連AC、B₁H，則EF∥AC，
∵AC⊥BD，所以BD⊥EF．
∵B₁B⊥平面ABCD，所以B₁H⊥EF，
∴∠B₁HB為二面角B₁-EF-B的平面角．（2分）
在Rt△B1BH中，B1B=a，BH=

2

4

a.
∴tan∠B1HB=

B1B

BH

=2

2

故二面角B₁-EF-B的正切值為2

2

（4分）

（2）在棱B₁B上取中點M，連D₁M、C₁M．
∵EF⊥平面B₁BDD₁，
所以EF⊥D₁M．（6分）
在正方形BB₁C₁C中，因為M、F分別為BB₁、BC的中點，
∴B₁F⊥C₁M（8分）
又因為D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，所以B₁F⊥D₁C₁，
所以B₁F⊥D₁M，
∴D₁M⊥平面EFB₁（10分）

（3）設D₁M與平面EFB₁交于點N，則D₁N為點D₁到平面EFB₁的距離．（11分）
在Rt△MB₁D₁中，D₁B₁²=D₁N•D₁M（12分）
∵D1B1=

2

a，D1M=

3

2

a，
所以D1N=

D1 B 2 1

D1M

=

4

3

a，
故點D₁到平面EFB₁的距離為

4

3

a.（14分）

點評：本題主要考查了二面角及其度量，以及點、線、面間的距離計算和直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．