Question

【題目】對(duì)于函數(shù)定義已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?/span>當(dāng)且時(shí)，

（1）求并求出函數(shù)的解析式；

（2）若存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），， （2）

【解析】

（1）按的規(guī)律，逐步計(jì)算觀察發(fā)現(xiàn)對(duì)任意的，有 從而求出，由是偶函數(shù)可求得函數(shù)的解析式；

（2）由題意可知在上遞減且，分和兩種情況討論，在時(shí)得出推出矛盾，在時(shí)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為是方程的兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不相等的負(fù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式組求出的取值范圍

（1）因?yàn)?/span>

故

故對(duì)任意的，有

于是

故當(dāng)時(shí)，

又，故當(dāng)時(shí)，

由為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

因此，，即；

（2）由于的定義域?yàn)?/span>，

又可知與b同號(hào)，且，

函數(shù)的圖象，如圖所示

若，則在上單調(diào)遞增，有，

所以，解得，不符合題意，舍去；

若，則在上單調(diào)遞減，由題意，有

故是方程的兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，即方程在上有

兩個(gè)不相等的實(shí)根，于是

綜合上述，實(shí)數(shù)的取值范圍為